fractais a geometria do caosegos e outros efeitos borboleta

Tenho uma cultura matemática limitada, mas os fractais exerceram sobre mim um fascínio suficiente para me levar a procurar compreender as novas geometrias que descrevem realidades complexas impossíveis de representar pela geometria euclidiana e vou, honestamente, apenas copiar/colar alguns parágrafos, de vários artigos em português da wikipédia, sendo em si uma colagem, com alguma coerência, espero, para tentar explicar o que afinal apenas conheço superficialmente e que é como um complemento a um post do postscriptum sobre a geometria como representação e intrepretação do mundo que apenas se limitou à geometria clássica.

Comecei a manipular e torcer as minhas imagens digitais, quando pude aceder à Internet e procurar descarregar softwere, já alguns anos, com programas informáticos específicos. Há vários mas prefiro o Fractal Explorer com que realizei as imagens que ilustram este post, antes de dominar a categoria dos de tratamento de imagens tipo photoshop ou corel. Há na "teia" um número infinito de galerias de imagens com fractais, algumas com grande qualidade estética. Gosto bastante dos trabalhos de Janet Parke.

Das imagens passei à tentativa de compreender o que esta nova geometria e matemática poderiam explicar-me sobre a natureza, o universo, o caos e o infinito:

Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não-Euclidiana.

A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.

Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objetos que representam certos fenómenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objetos retratam formas e fenómenos da Natureza.

A ideia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre 1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objetos, catalogados como "demónios", que se supunha não terem grande valor científico.

Esta ciência só conseguiu desenvolver-se plenamente a partir da década de 60, com o auxílio da computação. Um dos pioneiros a usar esta técnica foi Benoît Mandelbrot, um matemático que já estudava tais figuras. Mandelbrot foi responsável por criar o termo fractal, e responsável pela descoberta de um dos fractais mais conhecidos, o conjunto de Mandelbrot. (1974)

"O bater de asas de uma borboleta num determinado canto do mundo pode causar um tufão do outro lado dele."

A Teoria do Caos para a física e a matemática é a hipótese que explica o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos. Em sistemas dinâmicos complexos, determinados resultados podem ser "instáveis" no que diz respeito à evolução temporal como função de seus parâmetros e variáveis. Isso significa que certos resultados determinados são causados pela ação e a interação de elementos de forma praticamente aleatória. Para entender o que isso significa, basta pegar um exemplo na natureza, onde esses sistemas são comuns. A formação de uma nuvem no céu, por exemplo, pode ser desencadeada e se desenvolver com base em centenas de fatores que podem ser o calor, o frio, a evaporação da água, os ventos, o clima, condições do Sol, os eventos sobre a superfície e inúmeros outros.

Até a década de 1980, os físicos defendiam a tese de que o universo era governado por leis precisas e estáticas, portanto os eventos nele ocorridos poderiam ser previstos. Porém a teoria do caos mostrou que certos eventos universais podem ter ocorrido de modo aleatório.

Quando se estudam os mecanismos que procuram descrever a teoria do caos, os pesquisadores deparam-se com o imprevisível em todos os momentos e em todas as partes do desenvolvimento teórico.

Bons exemplos de sistemas caóticos são o crescimento de lavouras e a formação de tempestades, onde qualquer pequena alteração, direção, velocidade de ventos por exemplo, pode provocar grandes mudanças num espaço de tempo maior.

Pois, é exatamente isso que os matemáticos querem prever: o que as pessoas pensam que é acaso mas, na realidade, é um fenômeno que pode ser representado por equações. Alguns pesquisadores já conseguiram chegar a algumas equações capazes de simular o resultado de sistemas como esses, ainda assim, a maior parte desses cálculos prevê um mínimo de constância dentro do sistema, o que normalmente não ocorre na natureza.

a fita de Möbius de Escher

Douglas Hofstadter, o autor do livro GEB, que chegou a classificar G.E.B. (Gödel, Escher e Bach) como a afirmação da sua religião, caracteriza-o como uma tentativa muito pessoal de dizer como é que seres animados podem surgir da matéria inerte. O que é um ego e como pode um ego sair de uma coisa tão sem ego como um charco ou uma pedra? O que é um "eu" e porque se encontram tais coisas somente (pelo menos, até agora) em associação com "bolbos tilintantes de medo e sonho", isto é, somente em associação com uma certa espécie de massas viscosas enclausuradas em cascas protectoras endurecidas, montadas sobre pedestais móveis que vagueiam pelo mundo aos pares de andas articuladas tremendo ligeiramente!

GEB aborda estas questões construindo lentamente uma analogia que liga moléculas inanimadas a símbolos sem significado, e depois liga egos (ou "eus", ou "almas", se preferirem - seja o que for que distingue os animais da matéria inerte) a certos padrões especiais, enrolados, retorcidos e rodopiantes, providos de significado, que só ocorrem em tipos particulares de sistemas de símbolos sem significado. É destes padrões estranhos e retorcidos que tanto se ocupa o livro, porque são pouco conhecidos e apreciados, contra-intuitivos e cheios de mistério. Tais padrões estranhos e entrelaçados são chamados, ao longo do livro, "voltas estranhas" (strange loops).

"Será que o infinito real existe no universo físico? Existem infinitas estrelas? O universo tem volume infinito? O espaço cresce para sempre?"

"O conceito matemático de infinito tem alguma relação com o conceito religioso de Deus?"

Infinito Real (ou Infinito Completo) é um assunto mais complexo: será possível existir uma entidade completa e existente de tamanho infinito?

Infinito na Matemática
Em matemática, conjuntos infinitos foram primeiramente considerados por Georg Cantor, por volta de 1873. Cantor observou que conjuntos infinitos podem ter tamanhos diferentes, distinguindo entre conjuntos infinitos contáveis e incontáveis, e desenvolveu sua teoria de números cardinais baseado nesta observação. A matemática moderna aceita o infinito real. Por exemplo, as linhas e superfícies da geometria são interpretados pela matemática contemporânea como conjuntos infinitos de pontos. Certos sistemas numéricos estendidos, tais como os números surreais, incorporam os números (finitos) ordinais e os números infinitos de diferentes tamanhos.

A complexidade é a abordagem transdisciplinar dos fenômenos, e a mudança de paradigma, abandonando o reducionismo que tem pautado a investigação científica em todos os campos, e dando lugar à criatividade e ao caos.

Segundo Edgar Morin (Introdução ao Pensamento Complexo, 1991:17/19): "À primeira vista, a complexidade é um tecido (complexus: o que é tecido em conjunto) de constituintes heterogêneos inseparavelmente associados: coloca o paradoxo do uno e do múltiplo. Na segunda abordagem, a complexidade é efetivamente o tecido de acontecimentos, ações, interações, retroações, determinações, acasos, que constituem o nosso mundo fenomenal. Mas então a complexidade apresenta-se com os traços inquietantes da confusão, do inextricável, da desordem, da ambigüidade, da incerteza... Daí a necessidade, para o conhecimento, de pôr ordem nos fenômenos ao rejeitar a desordem, de afastar o incerto, isto é, de selecionar os elementos de ordem e de certeza, de retirar a ambigüidade, de clarificar, de distinguir, de hierarquizar... Mas tais operações, necessárias à inteligibilidade, correm o risco de a tornar cega se eliminarem os outros caracteres do complexus; e efetivamente, como o indiquei, elas tornam-nos cegos."

Sobre a "complexidade" em francês aqui e dois vídeos dum colóquio de Cerisy em 2005, onde Edgar Morin fala da complexidade aqui e um terceiro a seguir:

Sobre a teoria da complexidade em francês aqui.

Sobre os "sistemas ou estruturas dissipativas" de Ilya Prigogine en francês aqui e em inglês aqui. E aqui um vídeo onde o já falecido prémio Nobel se exprime com um sotaque muito especial, contaminado de francês e de russo, língua de adopção e de origem.

Há ainda a questão da proporção aurea ou número de ouro, essa seqüência aparece na natureza, no comportamento da refração da luz, dos átomos, do crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, etc. tão apreciada por artistas e arquitetos que também merecia um post com exemplos que se encontram natureza, na arquitetura e na arte. Fica para outra vez...

A pedido do tema, de Ilya Prigogine, de Edgar Morin e sobretudo de Douglas Hofstadter: